Dica testada no Linux Mint 18.1 (Mate) 64-bits.

Primeiramente: há duas opções de programas Java da Oracle. O JRE e o JDK. Para saber a diferença entre elas leia:

• https://www.java.com/pt_BR/download/faq/techinfo.xml

As opções nativas do Linux Mint são: "default-jdk" e "default-jre". Caso tais opções não funcionem para você por algum motivo, e se for necessário usar as versões da Oracle, você pode remover as opções nativas e instalar as opções da Oracle.

Como o JDK é mais completo que o JRE (já inclui o JRE) mostrarei como instalar a versão JDK. Mas o procedimento é quase o mesmo para quem quiser instalar o JRE.

Primeiro removas as opções "open" do Java:

sudo apt-get update && sudo apt-get remove openjdk*

Acesse a página de downloads do Java em:

• http://www.oracle.com/technetwork/java/javase/downloads/index.html

Baixe a versão tar.gz. do programa desejado. Exemplo: jdk-8u121-linux-x64.tar.gz

Vamos supor que o pacote foi salvo no diretório "Downloads".

Mude de diretório indo para o Downloads:

cd ~/Downloads

Extraia o pacote baixado:

tar -zxvf jdk[TAB para completar]

Isso vai gerar um diretório com o nome jdk[VERSÃO]. Exemplo: jdk1.8.0_121.

Crie um novo diretório do java:

sudo mkdir -p /opt/java

Mova o diretório extraído para lá:

sudo mv jdk1.8.0_121 /opt/java

Torne o java a opção padrão:

sudo update-alternatives --install "/usr/bin/java" "java" "/opt/java/jdk[VERSÃO]/bin/java" 1
$ sudo update-alternatives --set java /opt/java/jdk[VERSÃO]/bin/java

Crie o link para o plugin funcionar no Firefox:

mkdir -p ~/.mozilla/plugins
$ ln -s /opt/java/jdk[VERSÃO]/jre/lib/amd64/libnpjp2.so ~/.mozilla/plugins/

Verifique a versão:

java -version

Deverá aparecer algo como:

java version "1.8.0_121"
Java(TM) SE Runtime Environment (build 1.8.0_121-b13)
Java HotSpot(TM) 64-Bit Server VM (build 25.121-b13, mixed mode)

Pronto!

Fonte: https://community.linuxmint.com/tutorial/view/1372