Dual Boot Impossível

Olá.
Sou completamente novo no mundo Linux, porém minha curiosidade fez com que eu me dedicasse de fato em obter e executar esse sistema.
Pesquisei durante um tempo e acabei optando pelo Ubuntu Budgie 18.04.2. Segui os passos de instruções dados na internet e pelo forum do Viva o Linux também.
Quanto a instalação, não há problemas. Foram feitas as partições e o SO já está na máquina. Entretanto ao inicializar, o GRUB não aparece.
Busquei inúmeras técnicas para inicialização (reinstalação do sistema, atualização do GRUB, instalação do GRUB, modificações na BIOS entre outras com certeza). O Boot Repair também foi uma alternativa, que foi executado com exito, só que ainda não resolveu meu problema na inicialização.
Foi gerado o link no Ubuntu Pastebin (http://paste.ubuntu.com/p/qPtm6VgR5v/) que tanto enviei a eles como disponibilizo aqui.

Informações do PC:
Processador Intel Core i3-5005U CPU @ 2.00GHz
RAM 4GB
HD 500GB (praticamente todo disponibilizado ao Ubuntu)
SSD 120 GB (atualmente com o W10)

De novo, ja busquei quase que a totalidade dos fóruns disponibilizados aqui e na internet em geral, não queria desistir dessa distribuição que adquiriu de fato todo meu respeito. Quem quiser dar um força, agradeceria demais. Valeu.

Ambos os sistemas estão instalados em modo UEFI ou ambos em Legacy?

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                                                      root@bigbang:/# mv * > /dev/null

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Dessa ultima vez instalei em UEFI, mas já pus em Legacy pra instalar e também não deu certo.

Olá.
Não é elegante a solução que proponho más, acredito que funcione.

1 - Formate os 2 HDs.
2 - Desabilite o HD de 500 na BIOS.
3 - Instale o Windows 10 no SSD.
4 - Desabilite o SSD e Habilite o 500 na BIOS.
5 - Instale o Linux.

Agora a sacada:

Sempre que quiser iniciar um dos sistemas você pode deixar somente o HD dele habilitado ou escolher qual a BIOS dará preferência para iniciar.

Como eu disse, não é elegante e nem a melhor saída más, resolvera seu problema.